Chứng minh hàm số f(x)=\(\frac{2}{x-3}\) nghịch biến trên khoảng \((-\infty;3)\)
xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số trên
\(y=f\left(x\right)=x^2-2x+3\) trên khoảng \(_{\left(1;+\infty\right)}\)
y=f(x)=\(\sqrt{3-x}\) trên khoảng \(\left(-\infty;3\right)\)
Cho hàm số \(y = \frac{1}{x}\). Chứng tỏ hàm số đã cho:
a) Nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\);
b) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)
Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)
\({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)
\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)
Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)
\({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)(Cùng dấu âm nên tích cũng âm)
\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Bài 10. Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra
a: \(f\left(x\right)=2x^2-4x+3\) trên các khoảng \(\left(3;+\infty\right)\) và (-10;1)
b: \(f\left(x\right)=-3x^2+6x+1\) trên các khoảng \(\left(1;+\infty\right)\) và (-10;-2)
c: \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{x-2}\) trên khoảng \(\left(-\infty;2\right)\)
d: \(f\left(x\right)=-\dfrac{1}{x+1}\) trên các khoảng (-3;-2) và \(\left(-1;+\infty\right)\)
e: \(f\left(x\right)=x^{2020}+x^2-3\) trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)
a) Đk:\(x\in R\)
TH1:Xét \(x\in\left(3;+\infty\right)\)
Lấy \(x_1;x_2\in\left(3;+\infty\right)\) thỏa mãn \(x_1\ne x_2\)
Xét \(I=\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\dfrac{2x_1^2-4x_1+3-\left(2x_2^2-4x_2+3\right)}{x_1-x_2}\)\(=2\left(x_1+x_2\right)-4\)
Do \(x_1;x_2\in\left(3;+\infty\right)\)\(\Rightarrow2\left(x_1+x_2\right)>12\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)-4>8>0\)
\(\Rightarrow I>0\)
Hàm đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right)\)
TH2:Xét \(x\in\left(-10;1\right)\)
Lấy \(x_1;x_2\in\left(-10;1\right):x_1\ne x_2\)
Xét \(I=2\left(x_1+x_2\right)-4\)
Do \(x_1< 1;x_2< 1\Rightarrow2\left(x_1+x_2\right)< 4\Rightarrow I=2\left(x_1+x_2\right)-4< 0\)
Hàm nb trên khoảng \(\left(-10;1\right)\)
b)Làm tương tự,hàm nb trên \(\left(1;+\infty\right)\) và đb trên \(\left(-10;-2\right)\)
c)Đk: \(x\in R\backslash\left\{2\right\}\)
=>Hàm số xác định trên \(\left(-\infty;2\right)\)
Lấy \(x_1;x_2\in\left(-\infty;2\right):x_1\ne x_2\)
Xét \(I=\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\dfrac{\dfrac{x_1}{x_1-2}-\dfrac{x_2}{x_2-2}}{x_1-x_2}=\dfrac{-2}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}\)
Do \(x_1;x_2< 2\Rightarrow\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)>0\)
\(\Rightarrow I=-\dfrac{2}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}< 0\)
Hàm nb trên \(\left(-\infty;2\right)\)
d)\(I=\dfrac{1}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}\)
Hàm đb trên \(\left(-1;+\infty\right)\) ; \(\left(-3;-2\right)\)
e)TXĐ:D=R
Lấy \(x_1;x_2\in\left(0;+\infty\right):x_1< x_2\)
\(T=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=x_1^{2020}+x_1^2-3-x_2^{2020}-x_2^2+3=x_1^{2020}-x_2^{2020}+x_1^2-x_2^2\)
Do \(x_1< x_2\Rightarrow x_1^{2020}< x_2^{2020};x_1^2< x_2^2\)
\(\Rightarrow T=x_1^{2020}-x_2^{2020}+x_1^2-x_2^2< 0\)
Hàm đb trên \(\left(0;+\infty\right)\)
Hàm số \(y = {x^2} - 5x + 4\)
A. Đồng biến trên khoảng \((1; + \infty ).\)
B. Đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;4).\)
C. Nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;1).\)
D. Nghịch biến trên khoảng \((1;4).\)
Trục đối xứng của hàm số là: \(x = \frac{5}{2}.\)
Vì \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{5}{2}} \right).\)
Chọn C.
Cho hàm số y=f(x) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f’(x) và các khẳng định sau:
(1). Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng 1 ; + ∞
(2). Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng - ∞ ; - 2
(3). Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng - 2 ; 1 .
(4). Hàm số y = f x 2 đồng biến trên khoảng - 1 ; 0
(5). Hàm số y = f x 2 nghịch biến trên khoảng (1;2)
Số khẳng định đúng là
A. 4
B. 3
C. 2
D. 5
Chứng tỏ hàm số \(y = 6{x^2}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Xét hai số bất kì \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Ta có: \(f\left( {{x_1}} \right) = 6x_1^2;f\left( {{x_2}} \right) = 6x_2^2\)
\(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 6x_1^2 - 6x_2^2\)\( = 6\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
\({x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} - {x_2} < 0\)
\({x_1} < 0;{x_2} < 0 \Rightarrow {x_1} + {x_2} < 0\)
\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0\)
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
1) tìm khoảng đồng biến nghịch biến \(y=\dfrac{x^2-6x+10}{x-3}\)
2) hàm số \(y=\dfrac{mx-4}{x-m}\) đồng biến trên khoảng (0,\(+\infty\))
1: TXĐ: D=R\{3}
\(y=\dfrac{x^2-6x+10}{x-3}\)
=>\(y'=\dfrac{\left(x^2-6x+10\right)'\left(x-3\right)-\left(x^2-6x+10\right)\left(x-3\right)'}{\left(x-3\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{\left(2x-6\right)\left(x-3\right)-\left(x^2-6x+10\right)}{\left(x-3\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{2x^2-12x+18-x^2+6x-10}{\left(x-3\right)^2}\)
=>\(y'=\dfrac{x^2-6x+8}{\left(x-3\right)^2}\)
Đặt y'<=0
=>\(\dfrac{x^2-6x+8}{\left(x-3\right)^2}< =0\)
=>\(x^2-6x+8< =0\)
=>(x-2)(x-4)<=0
=>2<=x<=4
Vậy: Khoảng đồng biến là [2;3) và (3;4]
1. Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm f'(x) = (x^2 -1)(x-2)^2(x-3) . Hàm số đồng biến ; nghịch biến trên khoảng nào? 2. Cho hàm số y = x^4 -2x^2 . Hàm số đồng biến ; nghịch biến trên khoảng nào?
1.
\(f'\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)\) có các nghiệm bội lẻ \(x=\left\{-1;1;3\right\}\)
Sử dụng đan dấu ta được hàm đồng biến trên các khoảng: \(\left(-1;1\right);\left(3;+\infty\right)\)
Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right);\left(1;3\right)\)
2.
\(y'=4x^3-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
Lập bảng xét dấu y' ta được hàm đồng biến trên \(\left(-1;0\right);\left(1;+\infty\right)\)
Hàm nghịch biến trên \(\left(-\infty;-1\right);\left(0;1\right)\)
3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\dfrac{x+1}{x+3m}\) nghịch biến trên khoảng(6;+\(\infty\) )?
4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\dfrac{x+2}{x+3m}\) đồng biến trên khoảng (-\(\infty\);-6)?
3.
\(y'=\dfrac{3m-1}{\left(x+3m\right)^2}\)
Hàm nghịch biến trên khoảng đã cho khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}3m-1< 0\\-3m\le6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{3}\\m\ge-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-2\le m< \dfrac{1}{3}\Rightarrow m=\left\{-2;-1;0\right\}\)
4.
\(y'=\dfrac{3m-2}{\left(x+3m\right)^2}\)
Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}3m-2>0\\-3m\ge-6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{2}{3}\\m\le2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}< m\le2\Rightarrow m=\left\{1;2\right\}\)